Категории

Частотные составляющие сигнала

Конструктор DDS-генератор сигналов

Частотные характеристики

{REPLACEMENT-(h2>)-(h3>)}

2. Представление сигналов в частотной области. Понятие спектра сигнала.

Каждый сигнал имеет своё представление, свой образ в частотной области.

Этот образ называется СПЕКТРОМ сигнала. Слово спектр происходит от латинского spectrum, что в буквальном переводе и означает представление, образ.

Например, гармонический сигнал вида S(t) = A sin (?t+?) представляется в частотной области единственным значением на оси частот.

Рис 3. Спектр синусоидального сигнала.

В математике известна теорема, носящая имя великого французского математика Жана Фурье, согласно которой любой периодический сигнал с периодом T может быть представлен рядом Фурье (гармоническим рядом).

Другими словами можно сказать, любой, самый сложный периодический сигнал можно представить совокупностью простых гармонических сигналов.

Возьмём, например, последовательность прямоугольных импульсов, длительность которых равна половине периода (такой сигнал называется МЕАНДР), а частота равна 50Гц. (рис 4.) Форма этого сигнала не очень похожа на синусоиду, коротая показана ниже вместе со своим спектром. Далее, на рис. 4в. показана основная гармоника на частоте 50 Гц , синусоида с частотой в три раза большей (150 Гц). но меньшей амплитуды и результат сложения этих двух сигналов. Видим, он по форме уже напоминает прямоугольные импульсы. Далее, на рис 4г., к первой и третьей гармоникам добавлена пятая, на частоте 250 Гц. Результат их сложения ещё более похож на исходный сигнал и так далее, чем больше гармоник мы будем суммировать, тем большую степень приближения к прямоугольным импульсам мы получим.

Рис. 4.Спектральный состав последовательности прямоугольных импульсов.

Аналитическая запись рассмотренного разложения имеет вид:

Или

Чем больше сигнал отличается от гармонического, тем больше частотных составляющих в его спектральном представлении и тем меньше расстояние (разнос частот) между ними, т.е. шире спектр такого сигнала. На рис.5.показана синусоида ограниченная сверху и снизу т.е. несколько искажённая, а на рис.6 показан её спектр. Видим, спектр имеет высшие гармоники различной амплитуды.

Рис. 5.

Рис. 6.

Таким образом, любое изменение формы сигнала неизбежно ведёт к изменению его спектра, и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его спектра. Связь между временным и частотным представлением сигнала даёт теорема Фурье.

8. Преобразование Фурье. Прямое и обратное преобразование Фурье. Понятие амплитудного и фазового спектра сигнала.

Спектральный анализ - один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Важную роль в спектральном анализе играют методы статистики, поскольку сигналы, как правило, имеют случайный характер или зашумлены при распространении или измерении. Если бы основные статистические характеристики сигнала были точно известны, или их можно было определить по конечному интервалу этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль "точной науки". Однако, в действительности по отрезку сигнала можно получить только оценку его спектра. Поэтому практика спектрального анализа - некое ремесло (или искусство?) достаточно субъективного характера. Различие между спектральными оценками, получаемыми в результате обработки одного и того же отрезка сигнала разными методами, можно объяснить различием допущений, принятых относительно данных, различными способами усреднения и т .п. Если априори характеристики сигнала не известны, нельзя сказать какие из оценок лучше.

Преобразование Фурье - математическая основа спектрального анализа.

Пара преобразований Фурье. Спектральная плотность сигнала

Пусть сигнал s(t) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t1 ,t2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T, включающий в себя интервал (t1 ,t2) (см. рис.1).

Рис. 1

Обозначим периодический сигнал, полученный из s(t), в виде sT(t). Тогда для него можно записать ряд Фурье

где

Подставим выражение для в ряд:

Для того, чтобы перейти к функции s(t) следует в выражении sT(t) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами ? =n2? /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю ( к бесконечно малой величине: , амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя, т.к. спектр становитсясплошным.

При предельном переходе в случае Т??, имеем:

Таким образом, в пределе получаем

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают ,

т.е.

(*)

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности:

(**)

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргументназывают фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S(?) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту ? . Его размерность - [сигнал/частота].

9. Свойства преобразования Фурье. Свойства линейности, изменения масштаба времени, другие. Теореме о спектре производной. Теорема о спектре интеграла.

10. Дискретное преобразование Фурье. Помехи радиоприёму. Классификация помех.

Дискретное преобразование Фурьеможет быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = k?t, fn = n?f):

S(f) =s(t) exp(-j2?ft) dt, S(fn) = ?ts(tk) exp(-j2?fnk?t), (6.1.1)

s(t) =S(f) exp(j2?ft) df, s(tk) = ?fS(fn) exp(j2?n?ftk). (6.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (6.1.1) числового ряда S(fn) являются дискретизаций непрерывной функции S'(f) спектра дискретной функции s(tk), равно как и значения (6.1.2) числового ряда s(tk) являются дискретизацией непрерывной функции s'(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S'(f) и s'(t) по их дискретным отсчетам соответствие S'(f) = S(f) и s'(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(k?t) ? S(n?f), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = N?t (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2fN = N?f (от -fN до fN), где N – количество отсчетов, при этом:

?f = 1/T = 1/(N?t), ?t = 1/2fN = 1/(N?f), ?t?f = 1/N, N = 2TfN. (6.1.3)

Соотношения (6.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до fN, т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -fN является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент tk обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию ?t = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(fn) ? Sn= sk exp(-j2?kn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (6.1.4)

s(tk) ? sk= (1/N)Sn exp(j2?kn/N), k = 0,1,…,N-1. (6.1.5)

Главный период спектра в (6.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -? до ?. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ?fN) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ?(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (6.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2fN (0 ? n ? N), а суммирование в (6.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам Sn* интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2fN соответствуют отсчеты SN+1-n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2fN являются отсчеты Sn и SN+1-n).

Пример: На интервале Т= [0,99],N=100, задан дискретный сигналs(k) =?(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точкахkот 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне, вычисленного по формулеS(n) =s(k)?exp(-j2?kn/100) с нумерацией поnот -50 до +50 с шагом по частоте, соответственно,??=2?/100, приведены на рис. 6.1.1.

Рис. 6.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

На рис. 6.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента nс сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 6.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 6.1.2. Модуль спектра. Рис. 6.1.3. Модуль спектра.

На рис. 6.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s'(k) =(1/100)S(n)?exp(j2?kn/100), которое показывает периодизацию исходной функцииs(k), но главный периодk={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналомs(k).

Рис. 6.1.4. Обратное преобразование Фурье.

Преобразования (6.1.4-6.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 6.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Помехи

Помехами обычно называют посторонние электрические возмущения, накладывающиеся на передаваемый сигнал и затрудняющие его прием. При большой интенсивности помех прием становится практически невозможным.

Классификация помех:

а) помехи от соседних радиопередатчиков (станций);

б) помехи от промышленных установок;

в) атмосферные помехи (грозы, осадки);

г) помехи, обусловленные прохождением электромагнитных волн через слои атмосферы: тропосферу, ионосферу;

д) тепловые и дробовые шумы в элементах радиоцепей, обусловленные тепловым движением электронов.

Математически сигнал на входе приемника можно представить либо в виде суммы передаваемого сигнала и помехи, и тогда помеху называют аддитивной, либо простошумом, либо в виде произведения передаваемого сигнала и помехи, и тогда такую помеху называютмультипликативной. Эта помеха приводит к значительным изменениям интенсивности сигнала на входе приемника и объясняет такие явления какзамирания.

Наличие помех затрудняет прием сигналов при большой интенсивности помех, распознавание сигнала может стать практически невозможным. Способность системы противостоять мешающему воздействию помехи носит название помехоустойчивости.

Внешние естественные активные помехи представляют собой шумы, возникающие в результате радиоизлучения земной поверхности и космических объектов, работы других радиоэлектронных средств. Комплекс мероприятий, направленных на уменьшение влияния взаимных помех РЭС, называется электомагнитной совместимостью. Этот комплекс включает в себя как технические меры совершенствования радиоаппаратуры, выбор формы сигнала и способа его обработки, так и организационные меры: регламентация частоты, разнесение РЭС в пространстве, нормирование уровня внеполосных и побочных излучений и др.

11. Дискретизация непрерывных сигналов. Теорема Котельникова (отсчётов). Понятие частоты Найквиста. Понятие интервала дискретизации.

Дискретизация аналоговых сигналов. Ряд Котельникова

Всякое непрерывное сообщение s(t), занимающее конечный интервал времени Тс , может быть передано с достаточной точностью конечным числом N отсчетов (выборок) s(nT), т.е. последовательностью коротких импульсов, разделенных паузой.

Дискретизация сообщений по времени – процедура, состоящая в замене несчетного множества мгновенных значений сигнала их счетным (дискретным) множеством, которое содержит информацию о значениях непрерывного сигнала в определенные моменты времени.

При дискретном способе передачи непрерывного сообщения можно сократить время, в течение которого канал связи занят передачей этого сообщения, с Тс до , где- длительность импульса, применяемого для передачи выборки; можно осуществить одновременную передачу по каналу связи нескольких сообщений (временное уплотнение сигналов).

Наиболее простым является способ дискретизации, основанный на теореме В.А. Котельникова, сформулированной для сигналов с ограниченным спектром (теорема отсчетов):

если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше, чем Fm, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более, чем на секунд и может быть представлена рядом:

.

(1)

Здесь величина обозначает интервал между отсчетами на оси времени, а

- время выборки, - значение сигнала в момент отсчета.

Ряд (1) называется рядом Котельникова, а выборки (отсчеты) сигнала {s(nT)} иногда называют временным спектром сигнала.

Функция

обладает следующими свойствами:

а) в точке t=nT функция равна 1, т.к. в этой точке аргумент функции равен 0, а значение ее равно 1;

б) в точках t=kT, функция, т.к. аргумент синуса в этих точках равен, а сам синус равен нулю;

в) спектральная плотность функции un(nT)равномерна в полосе частот и равна. Этот вывод сделан на основе теоремы взаимности частоты и времени пары преобразований Фурье. ФЧХ спектральной плотности линейна и равна(в соответствии с теоремой о сдвиге сигнала). Таким образом,

.

Временное и частотное представления функции un(t) даны на рис.3.

Рис. 3

Графическая интерпретация ряда Котельникова представлена на рис.4.

Рис. 4

Ряд Котельникова (1) обладает всеми свойствами обобщенного ряда Фурье с базисными функциями un(nT), и поэтому определяет функцию s(t) не только в точках отсчета, но и в любой момент времени.

Интервал ортогональности функции unравен бесконечности. Квадрат нормы

.

Коэффициенты ряда, определяемые по общей формуле для ряда Фурье, равны (с использованием равенства Парсеваля):

Так как

следовательно

При ограничении спектра сигнала конечной наивысшей частотой ряд (1) сходится к функции s(t) при любом значении t.

Если взять интервал Т между выборками меньшим, чем , то ширина спектра базисной функции будет больше ширины спектра сигнала, следовательно точность воспроизведения сигнала будет выше, особенно в случаях когда спектр сигнала не ограничен по частоте и наивысшую частотуFm приходится выбирать из энергетических или информационных соображений, оставляя неучтенными “хвосты” спектра сигнала.

При увеличении расстояния между выборками () спектр базисной функции становится уже спектра сигнала, коэффициентыCnбудут являться выборками другой функции s1(t), спектр которой ограничен частотой .

Если длительность сигнала Tcконечна, то полоса его частот равна строго бесконечности, т.к. условия конечных длительности и полосы несовместимы. Однако практически всегда можно выбрать наивысшую частоту так, чтобы “хвосты” содержали либо малую долю энергии, либо слабо влияли на форму аналогового сигнала. При таком допущении число отсчетов N на времени Тс будет равно Тс, т.е. N=2FmTc. Ряд (1) в этом случае имеет пределы 0, N.

Число N иногда называют числом степеней свободы сигнала, или базой сигнала. С увеличением базы точность восстановления аналогового сигнала из дискретного увеличивается.

12. Временные и частотные характеристики линейных радиотехнических цепей. Понятие импульсной характеристики. Понятие переходной характеристики. Понятие входной и передаточной частотной характеристики.

При рассмотрении радиотехнических сигналов было установлено, что сигнал может быть представлен как во временной (динамическое представление), так и в частотной(спектральное представление) областях. Очевидно, при анализе процессов преобразования сигналов цепи также должны иметь соответствующие описания временными или частотными характеристиками.

Начнём с рассмотрения временных характеристик линейных цепей с постоянными параметрами. Если линейная цепь осуществляет преобразование в соответствии с оператором и на вход цепи подаётся сигналв виде дельта-функции (на практике очень короткий импульс), то выходной сигнал (реакция цепи)

(5.5)

называется импульсной характеристикой цепи. Импульсная характеристика составляет основу одного из методов анализа преобразования сигналов, который будет рассмотрен ниже.

Если на вход линейной цепи поступает сигнал , т.е. сигнал вида “единичный перепад”, то выходной сигнал цепи

(5.6)

называется переходной характеристикой.

Между импульсом и переходной характеристикой существует однозначная связь. Так как дельта-функция (см. подраздел 1.3):

,

то подставляя это выражение в (5.5), получим:

. (5.7)

В свою очередь переходная характеристика

. (5.8)

Перейдём к рассмотрению частотных характеристик линейных цепей. Применим к входному и выходномусигналам прямое преобразование Фурье

,

.

Отношение комплексного спектра выходного сигнала к комплексному спектру входного сигнала называется комплексным коэффициентом передачи

(5.9)

Из этого следует, что

.(5.10)

Таким образом, оператором преобразования сигнала линейной цепью в частотной области служит комплексный коэффициент передачи.

Представим комплексный коэффициент передачи в виде

,(5.11)

где исоответственно модуль и аргумент комплексной функции. Модуль комплексного коэффициента передачикак функция частоты называетсяамплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Амплитудно-частотная характеристика является чётной, а фазочастотная характеристика – нечётной функцией частоты .

Врменные и частотные характеристики линейных цепей связаны между собой преобразованием Фурье

, (5.12)

, (5.13)

что вполне объяснимо, поскольку они описывают один и тот же объект – линейную цепь.

13. Анализ воздействия детерминированных сигналов на линейные цепи с постоянными параметрами. Временной, частотный, операторный методы.

Источник: https://StudFiles.net/preview/6319546/page:3/
{/REPLACEMENT}

2. Представление сигналов в частотной области. Понятие спектра сигнала.

Сигналы при фазовой и частотной модуляциях

При фазовой модуляции (ФМ) имеет место воздействие сигнала сообщения на начальную фазу несущего сигнала, а при частотной модуляции (ЧМ) это воздействие осуществляется на частоту несущего сигнала.

У ФМ сигнала с гармонической функцией начальная фаза становится функцией времени:

,

где – коэффициент пропорциональности. Мгновенное значение ФМ сигнала имеет вид

. (2.28)

Полная фаза такого колебания

(2.29)

изменяется в общем случае нелинейно. Мгновенное значение частоты колебаний находится как производная по времени полной фазы:

, (2.30)

при этом значение должно быть таким, чтобы было обеспечено неравенство для любого момента времени.

При частотной модуляции частота несущего сигнала

, (2.31)

где – коэффициент пропорциональности, обеспечивающий для любого t. Полная фаза находится путем интегрирования (2.31)

. (2.32)

Следовательно, аналитическая форма записи ЧМ сигнала имеет вид

. (2.33)

Вначале рассмотрим однотональную частотную модуляцию несущего сигнала. В этом случае сигнал сообщения

.

Тогда

, (2.34)

где – максимальное изменение (или девиация – от лат. deviatio – уклонение) частоты.

С учетом (2.34) выражение (2.32) запишем в виде

,

где – индекс частотной модуляции. Выбирая отсчет времени так, чтобы при t=0 значение , получим . Тогда

, (2.35)

а частотно-модулированный сигнал примет следующий аналитический вид

. (2.36)

Применяя тригонометрическое преобразование

,

выражение (2.36) примет вид

. (2.37)

Для нахождения спектра ЧМ сигнала необходимо множители и в выражении (2.37) разложить в ряд Фурье. При этом коэффициенты ряда будут функции Бесселя 1-го рода n-го порядка , аргументом которых является индекс частотной модуляции:

;

. (2.38)

Функции Бесселя табуированы [7]. Графики функций Бесселя первого рода n-го порядка изображены на рис. 2.16.

Рис .2.16. График функции Бесселя 1-го рода n-го порядка

Подставляя (2.38) в (2.37) и преобразовав члены с произведениями тригонометрических функций по формулам

,

,

получим спектр ЧМ сигнала:

. (2.39)

Из выражения (2.39) следует, что спектр ЧМ сигнала при однотональной модуляции содержит бесконечное число составляющих с частотами , , и т.д. Амплитуды гармонических составляющих спектра определяются функциями Бесселя . При больших значениях амплитуды боковых составляющих превосходят амплитуду на частоте . Эта амплитуда определяется функцией и при близка к нулю. Следовательно, частотная модуляция позволяет сосредоточить большую долю энергии сигнала в боковых составляющих. Это свойство является преимуществом ЧМ сигнала перед АМ сигналом.

При малых значениях индекса частотной модуляции в выражении (2.37) , . Тогда

. (2.40)

Таким образом, при амплитудно-частотный спектр ЧМ сигнала такой же, как и спектр АМ сигнала. Фазо-частотный спектр будет иметь отличие: левые боковые составляющие относительно несущей спектральной составляющей будут иметь фазовые сдвиги, равные .

На рис. 2.17 показаны частотно-модулированный сигнал и его спектр при = 5. Спектр содержит несущую спектральную составляющую на частоте и боковые спектральные составляющие на частотах , , и т.д.

а) б)

Рис. 2.17: а – частотно-модулированный сигнал; б – амплитудно-частотный спектр ЧМ сигнала при = 5

В радиоэлектронных устройствах частотная модуляция несущего сигнала реализуется при . С увеличением спектр ЧМ сигнала расширяется. Однако, при каждом значении участок спектра, занятый относительно спектральной составляющей с максимальной амплитудой, практически ограничен. Принято считать, что ЧМ сигнал достаточно точно воспроизводится спектральными составляющими боковых полос, число которых равно . В это число входит несущая спектральная составляющая. Эти составляющие занимают частотную полосу

, (2.41)

где – частота повторения.

На рис. 2.18 показаны амплитудно-частотные спектры ЧМ сигнала при увеличении индекса частотной модуляции.

Рис. 2.18. Амплитудно-частотные спектры ЧМ сигнала при увеличении

В случае реального сигнала сообщения спектр ЧМ сигнала является более сложным, так как каждой гармонической составляющей сигнала сообщения соответствует своя серия боковых спектральных составляющих ЧМ сигнала. Из (2.41) следует, что при для передачи сообщения с помощью ЧМ сигнала с наибольшей частотой (в спектре сигнала сообщения) требуется полоса частот

,

существенно большая, чем при АМ сигнале, где эта полоса равна 2 . В силу этого частотная модуляция применяется в области высоких частот, так как отношение с увеличением частоты несущего сигнала уменьшается, и обеспечить заданную полосу частот представляется возможным.

Основным преимуществом ЧМ перед АМ является лучшая помехозащищенность канала радиосвязи, так как помехи в основном воздействуют на амплитуду колебаний, в то время как сообщение об информации содержится в изменении частоты ЧМ сигнала.

Фазовая модуляция во многом похожа на частотную. Как при ФМ, так и при ЧМ меняется полная фаза выражения (2.29) и (2.32), поэтому ту и другую модуляцию называют угловой модуляцией.


Предыдущая891011121314151617181920212223Следующая





Дата добавления: 2015-06-22; просмотров: 678;


ПОСМОТРЕТЬ ЕЩЕ:

Источник: http://helpiks.org/3-94813.html

Временное и частотное представление сигналов

sci_nov26 июня 2013 в 16:02

Сглаживание цифровых сигналов

Метки:

Введение


Данную статью меня заставил написать пост habrahabr.ru/post/183986, где не совсем правильно используется некоторый алгоритм сглаживания изображения.

Сразу перейдём к сути дела.

Математические модели цифровых сигналов — вектора и матрицы, элементами которых являются числа. Числа могут быть двоичными (бинарный сигнал), десятичными («обычный» сигнал) и так далее. Любой звук, любое изображение и видео могут быть преобразованы в цифровой сигнал1: звук — в вектор, изображение — в матрицу, а видео — в последовательный набор матриц. Поэтому цифровой сигнал — это, можно сказать, универсальный объект для представления информации.

Задача сглаживания — это, по сути, задача фильтрации сигнала от скачкообразных (ступенчатых) изменений. Считается, что полезный сигнал их не содержит. Ступенчатый сигнал за счёт множества резких, но небольших по амплитуде, перепадов уровня содержит высокочастотные составляющие, которых нет в сглаженном сигнале. Поэтому для некоторого алгоритма сглаживания в первую очередь необходимо определить как сильно ослабляются разные частотные составляющие. Другими словами, необходимо построить амплитудно-частотную характеристику соответствующего фильтра, иначе велика вероятность «нарваться» на артефакты.

Задача сглаживания может использоваться при прореживании сигналов, то есть когда, например, необходимо отобразить большую картинку на небольшой экран. Или когда частота дискретизации звука снижается, например, с 48000 Гц до 44100 Гц. Понижение частоты выборок — коварная операция, требующая предварительной обработки сигнала (низкочастотной фильтрации), но это — тема отдельного разговора…

Приведём пример «плохого» сглаживания


Казалось бы, обычное усреднение и сигнал на выходе должен быть «гладким». Но как определить, насколько он стал «глаже»? Не переборщили ли мы? А может быть некоторые коэффициенты выбрать не по 1/3? А может быть усреднить по пяти точкам? Как определить насколько ослабляются частотные составляющие в сигнале? Как найти свой (то есть для конкретной задачи) оптимум?
На эти и некоторые другие вопросы я постараюсь ответить так, чтобы «обычный» программист смог обосновать свой алгоритм, — надеюсь, не только алгоритм на тему «Сглаживание», так как идеи будут излагаться весьма общие, заставляющие думать самому


Сигналы



В этом параграфе под сигналом понимается вектор, то есть массив из определённого количества чисел. Например, вектор из четырёх элементов s = (2,5; 5; 0; -5).

Для простоты будут рассматриваться только десятичные вещественные числа.

Одним из наиболее распространённых и понятных сигналов является оцифрованный звук. Размер сигнала зависит от длительности звука и от частоты, с которой делают выборки (от частоты дискретизации). Элементы-числа сигнала зависят от текущей амплитуды звука, измеряемой устройством выборки и хранения.

Как уже было сказано, один из самых простых способов сглаживания, это
(1)
где s — исходный сигнал, v — сглаженный сигнал.

Способ (1) основан на сглаживающем свойстве суммирования, ведь каждому ясно, что средняя величина, вычисляемая как сумма многих случайных чисел, с ростом количества суммируемых чисел становится всё менее и менее похожей на случайную величину 2, которая, попросту говоря, и есть шум 3.

Но на чём основан выбор коэффициентов в уравнении (1)? На том, что так вычисляется среднее? Вроде бы да, но… А если взять не три слагаемых, а шестнадцать? А тридцать два?.. Почему всё более отстоящие от центрального элемента s[i] отсчёты должны браться с одинаковым весом? Ведь может оказаться так, что связь между отсчётами будет постепенно ослабевать с ростом расстояния 4 между ними?

Если рассмотреть пример произношения слова «арбуз» десять раз подряд и попытаться отследить связь между отсчётами записанного сигнала, то можно обнаружить ослабление зависимости между всё более отстоящими друг от друга отсчётами. Естественно, что если рассмотреть «большие расстояния», то звуки будут повторяться за счёт повтора одного и того же слова и зависимость будет нарастать и снова спадать, и так далее. Но, как правило, «большие расстояния» при сглаживании не рассматривают, так как шумы проявляются в окрестности отдельных звуков, а не слов, фраз и предложений. Шум, действующий на уровне слов или даже фраз — это явно искусственный (звуковые эффекты) или экзотический естественный (эхо). Это — уже «неслучайный» шум, требующий отдельного исследования. Здесь рассматривается «чистый» шум, который, говоря простым языком, раздражающе шумит и нисколько не похож на какой-либо полезный сигнал.

На основании простых рассуждений становится очевидным, что количество слагаемых в (1) (порядок фильтра) должно зависеть от того, насколько сильно зависят друг от друга соседние отсчёты. Например, нет смысла брать фильтр тридцатого порядка, если наблюдается зависимость только лишь десяти отсчётов, следующих друг за другом. На самом деле даже не то, что «нет смысла», а — нельзя, так как если отсчёты практически не связаны, то начнётся чрезмерное сглаживание полезного сигнала («съедение» слогов). Но и фильтр третьего порядка здесь не будет оптимальным по степени использования информации о полезном сигнале, так как, как уже было сказано, наблюдается зависимость порядка десяти соседних отсчётов. Поэтому можно «попытать счастья» с помощью фильтра девятого порядка, естественно, увеличив нагрузку на процессор-вычислитель. Здесь уже требуется определить, скорее всего экспериментально, а стоит ли данная игра свеч?..

Как оценить насколько сильно связаны соседние отсчёты? Вычислить автокорреляционную функцию (АКФ). Желающим можно предложить провести эксперимент по записи разных слов, фраз, повторов фраз и последующему построению АКФ (благо, например, программа Matlab позволяет это сделать, особо не задумываясь над кодом и формулами).

Так как всё-таки выбрать коэффициенты фильтра в (1)?

В данном случае удобно рассмотреть реакцию фильтра на единичное воздействие, то есть на сигнал вида


Например, фильтр (1) даст следующий отклик (импульсную характеристику)

откуда мы можем сделать вывод, что после сглаживания длительность сигнала стала равна трём элементам. А если взять фильтр из пяти элементов?.. Правильно, длительность выходного сигнала будет равна пяти элементам. Насколько это полезно, определяется конкретной ситуацией (задачей).

Кстати, а долгожданный артефакт уже налицо! Импульсная характеристика (1) — это, по сути, прямоугольный импульс, нисколько не являющийся гладким!.. Странно, да? А если взять пятиточечный фильтр? Тогда на выходе получим более длинный прямоугольный импульс, но с меньшей амплитудой. Не очень хорошо выходит… Простейший тест говорит о непригодности простого усреднения для сглаживания.

Посмотрим на фильтр (1) с частотной стороны (с временной мы уже посмотрели).

Если сигнал звуковой, то он достаточно хорошо описывается набором гармонических сигналов 5 («синусоид») и степень ослабления конкретной синусоиды зависит от её частоты. Опять же, при грамотном выборе сглаживающего фильтра никакая из полезных синусоид не должна пропадать полностью, то есть амплитудно-частотная характеристика фильтра в рабочем диапазоне частот должна быть достаточно равномерной.

Пропустим через рассматриваемый фильтр один однотональный сигнал определённой частоты, естественно, не выходя за пределы теоремы отсчётов. Пусть шаг дискретизации по времени Td равен единице, то есть отсчёты идут с шагом одна секунда. Возьмём сигнал с частотой f = 1/(3Td) = 1/3 Гц, то есть


Ограничимся двумя периодами


Отклик фильтра (1) будет равен


Как ни странно, получили почти ноль… Получается, можно потерять некоторые составляющие полезного сигнала.

Проверим отклик на несколько более высокочастотный сигнал


Как видим, форму сигнала не потеряли. В чём же дело?..

Дело в том, что амплитудно-частотная характеристика фильтра (1) не является монотонной в рабочей полосе частот (в полосе от нуля до половины частоты дискретизации) и имеет один нуль на частоте, в три раза меньшей частоты дискретизации. Как это показать?

Попросту говоря, чтобы определить частотную характеристику фильтра, необходимо найти отношение спектра на выходе фильтра к спектру на входе.

Обозначим спектр сигнала s[i] на входе как S( f ), тогда спектр задержанного на один такт Td сигнала s[i-1] выразится через спектр исходного сигнала как
(2)
где j — мнимая единица.

Спектр опережённого сигнала s[i+1] выразится как
(3)

Что означает мнимая единица? И как можно обосновать (2) и (3)?
Если записать известные [1, 2] ряды для синуса, косинуса и экспоненты
(4)
то подобрав число j, такое, что j2 = –1, можно последний ряд выразить через два первых
(5)
что означает то, что любое комплексное число можно записать через экспоненту с мнимым показателем. Модуль числа (5) равен единице (корень квадратный из суммы квадратов мнимой и реальной частей), поэтому для записи любого комплексного числа в форме (5) его необходимо разделить и умножить на свой модуль
(6)

Из (5) и (6) следует, что если в показателе экспоненты можно выделить мнимую единицу, умноженную на некоторое действительное число, то это число является аргументом комплексного числа.

В данном случае рассматриваются сигналы, поэтому модулю комплексного числа соответствует амплитуда гармонического сигнала, а аргументу — фаза. Если, например, взять сигнал вида
(7)
то можно выделить амплитуду A и фазу Ф. Множитель — это также фаза, и в некоторых случаях её выносят за скобки. Например, при прохождении сигнала (7) через некоторый фильтр важно знать разность фаз сигналов на входе и выходе, которую вносит фильтр на заданной частоте f.

Если сигнал (7) задержать на величину t0, то получится тот же самый сигнал, но сдвинутый по фазе на постоянную величину
(8)
то есть при задержке произвольного сигнала все его частотные составляющие сдвигаются по фазе на величину, зависящую от текущей частоты и величины задержки. Этим можно объяснить формулы (2) и (3). Поэтому при анализе какого-либо алгоритма важна и фазо-частотная характеристика, которая показывает на какое время задерживает фильтр (алгоритм) каждую частотную составляющую входного сигнала. Низкие частоты и высокие в общем случае будут иметь разную задержку в фильтре.

Из (1), (2) и (3) следует, что частотная характеристика фильтра (передаточная функция) будет иметь вид
(9)

Так как спектр выходного сигнала линейно выражается через спектр входного, то при выводе (9) спектр входного сигнала успешно сокращается. Далее замечаем, что частотная характеристика фильтра (1) — действительная, то есть данный фильтр не вносит фазовых искажений 6. Этого мы достигли (скорее всего, неосознанно) за счёт симметричности формулы (1): каждый отсчёт на выходе фильтра равен сумме текущего и двух соседних отсчётов.

Физически такой алгоритм реализуем только при наличии запоминающих устройств, так как в нём используются опережающие отсчёты (для вычисления отсчёта s[i] требуется отсчёт s[i+1]). В настоящее время это не является большой проблемой и, как правило, используют симметричные алгоритмы. Если фазовые искажения окажутся полезными, то — пожалуйста, главное осознанно применять какой-либо алгоритм и смотреть на него с разных сторон: с частотной и временной.

Построить график зависимости (9) от частоты не составляет труда. Для упрощения вводят нормированную частоту f0  = f Td, полезный диапазон изменения которой [0…0,5]. Составляющие сигнала с частотами выше половины частоты дискретизации по теореме отсчётов должны отсутствовать (перед оцифровкой сигнал пропускают через соответствующие фильтры нижних частот). Частота дискретизации показывает количество выдаваемых цифровым устройством отсчётов в секунду. Если, например, один такт Td равен одной миллисекунде, то за одну секунду должна быть выдана тысяча отсчётов.

Анализируя (9) можно заметить, что на некотором промежутке коэффициент передачи меньше нуля, а амплитуда — это по определению положительная величина… Выход из ситуации — построить модуль передаточной функции, убрав знак минус в фазовую характеристику, которая, всё-таки, не является константой (нулём). Если взять число «минус единица», то его по формуле (5) можно представить как
(10)
то есть комплексным числом, имеющим модуль «единица» и фазу «180 градусов» («пи»).

Таким образом, трёхточечный симметричный алгоритм (1) для некоторых «высоких» частот вносит сдвиг по фазе на 180 градусов, то есть попросту инвертирует входной сигнал. Этот эффект можно заметить, анализируя рассмотренный выше отклик на нормированную частоту 2/5 Гц.


Рис. 1. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики трёхточечного симметричного алгоритма сглаживания (1)

Из рис. 1 сразу следует, что сигнал с частотой 1/3 будет данным алгоритмом подавлен, а сигналы, имеющие частоту выше 1/3 будут инвертированы. Таким образом, полезный рабочий диапазон частот можно смело сократить с [0…0,5] до [0…1/3]. Если нас не устраивает быстрое спадание коэффициента передачи, придётся определять другой алгоритм, имеющий более прямоугольную амплитудно-частотную характеристику и при этом — ещё неизвестно какую фазовую…

По сути, полученная немонотонная частотная характеристика — следствие прямоугольной формы импульсной характеристики …, 0, 0, …, 1/3, 1/3, 1/3, 0, 0, …. Поэтому импульсная характеристика — простой способ заметить грубые изъяны в алгоритмах. Частотная характеристика, несмотря на некоторую сложность её вычисления, удобна тем, что позволяет заметить и устранить более тонкие изъяны, чем мы и займёмся.

Если теперь записать алгоритм (1) в более общем виде
(11)
то, основываясь на знании частотной характеристики, можно попытаться подобрать коэффициенты так,
чтобы амплитудно-частотная характеристика стала монотонной в рабочем диапазоне частот (0…0,5). Для этого, как минимум, необходимо отсутствие нулей внутри рабочего диапазона.

Так как у нас нет оснований выделять запаздывающий отсчёт s[i–1] по отношению к опережающему s[i+1], то приравняем коэффициенты a1 и a3. После запишем коэффициент передачи
(12)

Попытаемся переместить первый нуль на частоту f0 = 0,5. Для этого должно выполняться равенство a2 = 2a1 , то есть вес у боковых отсчётов должен быть в два раза меньше веса центрального. Тогда более оптимальный алгоритм будет выглядеть так
(13)

Как в (13) выбрать единственный коэффициент a1?

Взглянем на алгоритм (13) с точки зрения импульсной переходной характеристики. Для этого найдём отклик на единичный скачок :
(14)

Как видим, чтобы сохранить выходную амплитуду в установившемся режиме, равную единице, требуется выбрать коэффициент a1=1/4. То есть сумма всех коэффициентов должна быть равна единице.

Наконец, для готового алгоритма
(16)
можно построить (рис. 2) частотные характеристики: амплитудную и фазовую.


Рис. 2. Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики трёхточечного симметричного алгоритма сглаживания (16)

Анализ рис. 2 показывает, что фазовые искажения исчезли, а амплитудная характеристика стала монотонной в рабочей полосе частот [0…0,5]. В каком-то смысле мы выжали из трёхточечного фильтра «всё».

Теперь становится очевидно, что простое усреднение далеко не всегда является оптимальным, особенно когда усредняемых отсчётов много.

Изображения



Что касается изображений, то здесь в какой-то мере всё то же самое, что и для сигналов: амплитудные и фазовые искажения, импульсные характеристики, энергия сигнала, — основное отличие заключается в том, что используются матрицы вместо векторов. Также следует учесть, что для изображений нет координаты времени, а есть координата пространства, поэтому есть пространственные частоты дискретизации. Данное отличие скорее формальное, так как на математику алгоритмов оно не влияет вообще.

Рассмотрим теперь «самый простой» алгоритм сглаживания изображения по соседним точкам (рис. 3). Отсчёт v00 на выходе фильтра
(17)


Рис. 3. Схема сглаживания изображения по соседним точкам

В формуле (17) специально выделены три слагаемых A, B и C, так как четыре соответствующих внутренних слагаемых у B и C имеют свои расстояния от центрального отсчёта s00. Здесь естественно предположить, что максимальный вес будет у слагаемого A, затем в порядке убывания — у B и C.

Для изображений спектр и коэффициент передачи будут двумерными, то есть будут зависеть от двух частот: первая частота — по горизонтали, вторая — по вертикали (здесь всё условно, для определённости).

Фильтр (17) имеет следующий коэффициент передачи
(18)

Если взять, например, около тридцати дискретных частот и построить (рис. 4) контурный график модуля частотной характеристики (18), то можно увидеть искажения, аналогичные искажениям на рис. 1. Левому нижнему углу соответствуют самые низкие частоты. Наблюдается провал частотной характеристики на частотах, составляющих 1/3 от частоты дискретизации (частоты дискретизации в данном случае равны 64 по обеим координатам).


Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика девятиточечного симметричного алгоритма сглаживания (17)

Перетасовывая коэффициенты для отсчётов на рис. 3, можно получить следующий алгоритм сглаживания
(19)

Причём если единичное воздействие поместить в центре изображения, то отклик фильтра (19) будет иметь вид
(20)

По сути, (20) является импульсной характеристикой фильтра (это девять главных отсчётов, так как остальные равны нулю). Сумма всех отсчётов импульсной характеристики равна единице. Частотная характеристика фильтра (19) имеет вид, показанный на рис. 5.


Рис. 5. Амплитудно-частотная характеристика девятиточечного симметричного алгоритма сглаживания (19)

Опять мы видим (сравни рис. 4 и рис. 5) улучшение алгоритма обычного усреднения.

Резюме



При разработке алгоритмов обработки цифровых сигналов (сглаживания и не только) не следует доверять интуитивным алгоритмам вроде простого усреднения.

Более общим подходом является техника весового суммирования (рассматривались только линейные алгоритмы, когда отсчёты только лишь умножаются на константы, а результаты — складываются).

Весовое суммирование, когда более отдалённым от центрального элемента отсчётам ставятся меньшие веса, оправдано как статистически (естественная природа ослабления зависимости с ростом расстояния), так и функционально (возможно строго математически подобрать коэффициенты, обеспечив монотонность амплитудно-частотной характеристики).

Большую роль играют амплитудно-частотные характеристики фильтров, которые определяются коэффициентами весового суммирования. Они позволяют доказать, что заданный фильтр пропускает определённый диапазон частот и заграждает другой. Причём можно определить неравномерность в полосе пропускания, в полосе заграждения и так далее. Чем больше порядок фильтра, тем больше степеней свободы и тем лучше можно подобрать форму амплитудно-частотной характеристики.

Важную роль играют и фазо-частотные характеристики, которые, в основном, определяются степенью симметричности алгоритма. Алгоритмы реального времени, когда в момент прихода первого отсчёта появляется отсчёт на выходе фильтра, не могут обеспечить равномерную фазовую характеристику (константу, чаще всего «нуль»), так как они не могут быть симметричными. Такие алгоритмы вносят задержку во входной сигнал: например, сглаженное изображение может в целом сместиться по обеим координатам. Если изображение сложное (то есть имеет много частотных составляющих), то фазовые искажения его могут заметно исказить, а не просто сместить по координатам, что приближённо справедливо для простых изображений.

Также следует обратить внимание на импульсную характеристику фильтра, соответствующего некоторому алгоритму. Это позволяет простым способом взглянуть на работу фильтра напрямую, то есть в масштабе времени для сигнала или в масштабе пространственных координат — для изображения.

И, наконец, необходим энергетический анализ алгоритма, позволяющий определить потери сигнала на выходе соответствующего фильтра. Данный анализ удобно провести в рамках импульсной переходной характеристики.

Сноски


1. Всегда с потерями, так как частота работы и разрядность цифровых устройств ограничены
2. Стабилизирующее свойство средней величины справедливо при неизменности характеристик генератора случайных чисел, то есть в идеале генератор должен выдавать случайную величину с заданным законом распределения
3. Если, конечно, наблюдаемый шум — это не зашифрованный полезный сигнал, который становится случайным для тех, кто не имеет ключа…
4. Для звукового сигнала расстояние между отсчётами — это некоторый промежуток времени
5. Можно считать, что любой сигнал можно представить в виде суммы синусоид кратных частот, но звуковой по природе обязан «хорошо» раскладываться в ряд по частотам
6. Упрощённо можно сказать и так, подробности смотри ниже по тексту

Источники



1. Тригонометрические функции [Электронный ресурс], режим доступа: свободный, ru.wikipedia.org/wiki/%D2%F0%E8%E3%EE%ED%EE%EC%E5%F2%F0%E8%F7%E5%F1%EA%E8%E5_%F4%F3%ED%EA%F6%E8%E8
2. Экспонента [Электронный ресурс], режим доступа: свободный, ru.wikipedia.org/wiki/%DD%EA%F1%EF%EE%ED%E5%ED%F2%E0
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама
AdBlock похитил этот баннер, но баннеры не зубы — отрастут

Подробнее
Реклама
Источник: https://habrahabr.ru/post/184728/
Больше пикантного видео: